Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x + 6, y = x3, dan 2y + x = 0 adalah ... satuan luas.

Luas daerah = 22 satuan luas

Pembahasan

Persoalan:

Mencari luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 6, kurva y = x³, dan garis 2y + x = 0.

Step-1

Menggambar grafik setiap fungsi

Perhatikan sketsa ketiga grafik pada gambar terlampir. Apabila ada yang terlupa dalam menggambar grafik, ingat sejak masa SMP kita telah mengenal metode tabulasi untuk menyiapkan koordinat titik-titik yang dilalui kurva dan terutama koordinat titik-titik potong pada kedua sumbu.

Step-2

Tentukan absis titik-titik potong antarkurva

(a). Absis titik potong antara garis y = x + 6 dan kurva y = x³

⇔ x³ = x + 6

⇔ x³ - x - 6 = 0

Ingat materi polinomial dalam mencari akar-akar suku banyak. Dari persamaan tersebut diperoleh nilai x yang memenuhi yakni x = 2.

(b). Absis titik potong antara garis y = x + 6 dan garis 2y + x = 0 (atau [tex]y=- \frac{1}{2} x[/tex]

⇔ [tex]x+6=- \frac{1}{2} x[/tex]

⇔ 2x + 12 = -x

⇔ 3x = -12

⇔ x = -4

(c).  Absis titik potong antara garis 2y + x = 0 (atau [tex]y=- \frac{1}{2} x[/tex] dan kurva y = x³

⇔ [tex]x^{3}=- \frac{1}{2} x[/tex]

⇔ [tex]2x^{3}+x=0[/tex]

⇔ [tex]x( 2x^{2} +1)=0 [/tex]

⇔ Diperoleh nilai tunggal yaitu x = 0

Step-3

Hitung luas daerah A yang dibatasi oleh y = x + 6 dan [tex]y=- \frac{1}{2} x[/tex]

Batas bawah x = -4

Batas atas x = 0

⇔ Luas daerah A

[tex]=\int\limits^0_{-4}(x+6)-(- \frac{1}{2}x) \, dx [/tex]

⇔ Luas A

[tex]=\int\limits^0_{-4} \frac{3}{2}x+6 \, dx [/tex]

⇔ Luas A [tex]=\frac{3}{4} x^{2} +6x \left \|{{0} \atop {-4}} \right. [/tex]

⇔ Luas A [tex]=\frac{3}{4} x^{2} +6x \left \|{{0} \atop {-4}} \right. [/tex]

⇔ Luas A [tex]=[ \frac{3}{4}(0)^{2}+6(0)]-[ \frac{3}{4}(-4)^{2}+6(-4)] [/tex]

⇔ Luas A = 24 - 12

Diperoleh luas daerah A sebesar 12 satuan luas.

Step-4

Hitung luas daerah B yang dibatasi oleh y = x + 6 dan y = x³

Batas bawah x = 0

Batas atas x = 2

⇔ Luas daerah B

[tex]=\int\limits^2_{0}(x+6)-(x^{3}) \, dx [/tex]

⇔ Luas B

[tex]=\int\limits^2_{0}x+6-x^{3} \, dx [/tex]

⇔ Luas B [tex]=\frac{1}{2} x^{2} +6x-\frac{1}{4}x^{4} \left \|{{2} \atop {0}} \right. [/tex]

⇔ Luas B [tex]=[\frac{1}{2} (2)^{2} +6(2)-\frac{1}{4}(2)^{4}]-[\frac{1}{2} (0)^{2} +6(0)-\frac{1}{4}(0)^{4}][/tex]

⇔ Luas B [tex]=[2+12-4]-[0][/tex]

⇔ Luas B = 10

Diperoleh luas daerah B sebesar 10 satuan luas

Final Step

Hitung luas daerah total

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 6, kurva y = x³, dan garis 2y + x = 0 adalah luas daerah A + luas daerah B = 10 + 12.

Diperoleh luas daerah total sebesar 22 satuan luas.

______________

Detil jawaban

Kelas: XI

Mapel: Matematika

Bab: Integral Luas

Kode: 11.2.10.1