Sebuah akuarium tanpa tutup memiliki alas berbentuk persegi panjang dengan perbandingan panjang dan lebarnya 2 : 3. Jika luas permukaan akuarium adalah 1.800 cm

7.200 cm³

Pembahasan

Diketahui:

• Akuarium tanpa tutup dengan alas persegi panjang (ukuran dalam cm).
• Perbandingan panjang dan lebarnya 2 : 3. Kita sebut panjang = 2x dan lebar = 3x.
• Tinggi akuarium sebagai t.
• Luas permukaan = 1.800 cm².

DItanya:

Volume maksimum (dalam cm³).

Proses:

Step-1

• Luas bidang alas = (2x)(3x) = 6x²
• Luas bidang depan dan belakang = 2(3x)(t) = 6xt
• Luas bidang samping kanan dan kiri = 2(2x)(t) = 4xt

Luas bidang permukaan adalah 6x² + 6xt + 4xt = 1.800

Jadi, persamaan luas bidang permukaan adalah [tex]\boxed{ \ 6x^2 + 10xt = 1.800 \ } \rightarrow \boxed{ \ 3x^2 + 5xt = 900 \ }[/tex]

Step-2

Volume balok = panjang x lebar x tinggi

[tex]\boxed{ \ V = plt \ }[/tex]

[tex]\boxed{ \ V = (2x)(3x)(t) \ }[/tex]

[tex]\boxed{ \ V = 6x^2t \ }[/tex]

Diminta untuk menentukan volume maksimum. Kita akan menuju ke keadaan stasioner, namun sebelum itu fungsi volume harus dalam satu variabel yaitu variabel x.

[tex]\boxed{ \ 3x^2 + 5xt = 900 \ }\rightarrow \boxed{ \ t = \frac{900 - 3x^2}{5x} \ }[/tex]

Substitusikan ke dalam fungsi volume.

[tex]\boxed{ \ V(x) = 6x^2 \Big( \frac{900 - 3x^2}{5x} \Big) \ }[/tex]

[tex]\boxed{ \ V(x) = 6x \Big(180 - \frac{3}{5}x^2 \Big) \ }[/tex]

[tex]\boxed{ \ V(x) = 1.080x - \frac{18}{5}x^3 \ }[/tex]

Step-3

Keadaan stasioner [tex]\boxed{ \ V'(x) = 0 \ }[/tex]

[tex]\boxed{ \ 1.080 - \frac{54}{5}x^2 = 0 \ }[/tex]

[tex]\boxed{ \ - \Big( \frac{54}{5}x^2 - 1.080 \Big) = 0 \ }[/tex]

Kedua ruas dibagi 54.

[tex]\boxed{ \ - \Big( \frac{1}{5}x^2 - 20 \Big) = 0 \ }[/tex]

Kedua ruas dikali 5.

[tex]\boxed{ \ - (x^2 - 100) = 0 \ }[/tex]

Faktorkan.

[tex]\boxed{ \ - (x - 10)(x + 10) = 0 \ }[/tex]

Diperoleh x = 10 atau x = -10. Sebagai ukuran panjang tentu variabel x harus bernilai positif sehingga yang diterima adalah x = 10. Nilai x inilah yang menyebabkan volume maksimum akuarium.

Step-4

Substitusikan x = 10 ke dalam fungsi volume untuk mendapatkan volume maksimum.

[tex]\boxed{ \ V(10) = 1.080(10) - \frac{18}{5}(10)^3 \ }[/tex]

[tex]\boxed{ \ V(10) = 10.800 - \frac{18}{5}(1.000) \ }[/tex]

[tex]\boxed{ \ V(10) = 10.800 - 3.600 \ }[/tex]

Diperoleh volume maksimum akuarium sebesar 7.200 cm³.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Substitusikan x = 10 untuk mendapatkan ukuran panjang, lebar, dan tinggi akuarium.

• Panjang = 2(10) = 20 cm.
• Lebar = 3(10) = 30 cm.
• [tex]\boxed{ \ t = \frac{900 - 3(10)^2}{5(10)} = 12 \ }[/tex]

Terbukti volume maksimum akuarium adalah 20 x 30 x 12 = 7.200 cm³.

Pelajari lebih lanjut

1. Turunan pertama dari f(x) = sin⁴(3x² - 2) brainly.co.id/tugas/2669774
2. Interval fungsi naik https://brainly.co.id/tugas/1524142
3. Turunan terhadap fungsi eksponensial alami brainly.co.id/tugas/4700298

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Detil jawaban

Kelas: XI

Mapel: Matematika

Bab: Turunan Fungsi

Kode: 11.2.9